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8.7.3 Vectors, SPM Practice (Question 5 & 6)


Question 5:
Diagram below shows a triangle KLM.

It is given that KP:PL=1:2, LR:RM=2:1, KP=2x˜, KM=3y˜.(a) Express in terms of x˜ and y˜,(i) MP(ii) MR(b) Given x˜=2i˜ and y˜=i˜+4j˜, find |MR|.(c) Given MQ=hMP and QR=nKR, where h and n are constants,   find the value of h and of n.


Solution:
(a)(i)
MP=MK+KP  =3y˜+2x˜  =2x˜3y˜

(a)(ii)
MR=13ML  =13(MK+KL)  =13(3y˜+6x˜)  =2x˜y˜

(b)
MR=2(2i˜)(i˜+4j˜)  =4i˜+i˜4j˜  =5i˜4j˜|MR|=52+(4)2   =41 units

(c)
MQ+QR=MRhMP+nKR=MRh(2x˜3y˜)+n(KM+MR)=2x˜y˜h(2x˜3y˜)+n(3y˜+2x˜y˜)=2x˜y˜2hx˜3hy˜+2nx˜+2ny˜=2x˜y˜(2h+2n)x˜+(3h+2n)y˜=2x˜y˜2h+2n=2……….(1)3h+2n=1……….(2)(1)(2):5h=3 h=35From (1):h+n=135+n=1   n=135   n=25


Question 6:
Diagram below shows a trapezium OABC and point D lies on AC.


It is given that OC=18b˜, OA=6a˜ and OC=2AB.(a) Express in terms of a˜ and b˜,(i) AC(ii) OB(b) It is given that AD=kAC, where k is a constant.Find the value of k if the points OD and B are collinear.



Solution
:

(a)(i)
AC=AO+OC  =6a˜+18b˜  =18b˜6a˜


(a)(ii)
OC=2AB18b˜=2(AO+OB)18b˜=2(6a˜+OB)18b˜=12a˜+2OBOB=6a˜+9b˜


(b)
OD=hOB=h(6a˜+9b˜)=6ha˜+9hb˜AD=ODOA=6ha˜+9hb˜6a˜=a˜(6h6)+9hb˜AD=kACa˜(6h6)+9hb˜=k(18b˜6a˜)a˜(6h6)+9hb˜=6ka˜+18kb˜6h6=6kh1=kh=1k……….(1)9h=18kh=2kFrom (1),1k=2k3k=1k=13

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