\

8.7.4 Vectors, SPM Practice (Question 7 & 8)


Question 7:
Diagram below shows quadrilateral OPBC. The straight line AC intersects the straight line PQ at point B.

It is given that OP=a˜, OQ=b˜, OA=4AP, OC=3OQ, PB=hPQ andAB=kAC.(a) Express OB in terms of ha˜ and b˜.(b) Express OB in terms of ka˜ and b˜.(c)(i) Find the value of h and of k.(ii) Hence, state OB in terms of a˜ and b˜.It is given that OP=a˜, OQ=b˜, OA=4AP, OC=3OQ, PB=hPQ andAB=kAC.(a) Express OB in terms of ha˜ and b˜.(b) Express OB in terms of ka˜ and b˜.(c)(i) Find the value of h and of k.(ii) Hence, state OB in terms of a˜ and b˜.


Solution:
(a)
OB=OP+PB =a˜+hPQ =a˜+h(PO+OQ) =a˜+h(a˜+b˜) =a˜ha˜+hb˜OB=(1h)a˜+hb˜OB=OP+PB =a˜+hPQ =a˜+h(PO+OQ) =a˜+h(a˜+b˜) =a˜ha˜+hb˜OB=(1h)a˜+hb˜


(b)
OB=OP+PB =a˜+PA+AB =a˜+(15OP)+kAC =a˜+(15a˜)+k(AO+OC) =45a˜+k(45OP+3OQ) =45a˜+k(45a˜+3b˜) =45a˜45ka˜+3kb˜OB=45(1k)a˜+3kb˜OB=OP+PB =a˜+PA+AB =a˜+(15OP)+kAC =a˜+(15a˜)+k(AO+OC) =45a˜+k(45OP+3OQ) =45a˜+k(45a˜+3b˜) =45a˜45ka˜+3kb˜OB=45(1k)a˜+3kb˜


(c)(i)
(1h)a˜+hb˜=45(1k)a˜+3kb˜1h=4545k……….(1)h=3k……….(2)Substitute (2) into the (1) 13k=4545k515k=44k11k=1k=111Substitute k=111 into (2)h=3(111)  =311(1h)a˜+hb˜=45(1k)a˜+3kb˜1h=4545k……….(1)h=3k……….(2)Substitute (2) into the (1) 13k=4545k515k=44k11k=1k=111Substitute k=111 into (2)h=3(111)  =311


(c)(ii)
OB=(1h)a˜+hb˜when h=311=(1311)a˜+(311)b˜=811a˜+311b˜OB=(1h)a˜+hb˜when h=311=(1311)a˜+(311)b˜=811a˜+311b˜


Question 8:
Diagram below shows quadrilateral OPQR. The straight line PR intersects the straight line OQ at point S.

It is given that OP=7x˜, OR=5y˜, PS:SR=3:1 and OR is parallel to PQ.(a) Express in terms of x˜ and y˜,(i) PR(ii) OS(b) Using PQ=mOR and SQ=nOS, where m and n are constants,  Find the value of m and of n.(c) Given that |y˜|=4 units and the area of ORS is 50 cm2, find the  perpendicular distance from point S to OR.It is given that OP=7x˜, OR=5y˜, PS:SR=3:1 and OR is parallel to PQ.(a) Express in terms of x˜ and y˜,(i) PR(ii) OS(b) Using PQ=mOR and SQ=nOS, where m and n are constants,  Find the value of m and of n.(c) Given that y˜=4 units and the area of ORS is 50 cm2, find the  perpendicular distance from point S to OR.


Solution:
(a)(i)
PR=PO+OR  =7x˜+5y˜PR=PO+OR  =7x˜+5y˜


(a)(ii)
OS=OP+PS  =7x˜+34PR  =7x˜+34(7x˜+5y˜)  =7x˜214x˜+154y˜  =74x˜+154y˜OS=OP+PS  =7x˜+34PR  =7x˜+34(7x˜+5y˜)  =7x˜214x˜+154y˜  =74x˜+154y˜


(b)
PS=PQSQ34PR=mORnOS34(7x˜+5y˜)=m(5y˜)n(74x˜+154y˜)214x˜+154y˜=5my˜74nx˜154ny˜214x˜+154y˜=74nx˜+5my˜154ny˜74n=2147n=21n=35m154n=1545m154(3)=1545m454=1545m=15m=3PS=PQSQ34PR=mORnOS34(7x˜+5y˜)=m(5y˜)n(74x˜+154y˜)214x˜+154y˜=5my˜74nx˜154ny˜214x˜+154y˜=74nx˜+5my˜154ny˜74n=2147n=21n=35m154n=1545m154(3)=1545m454=1545m=15m=3


(c)
Area of ΔORS=5012×(5y˜)×t=5012×5(4)×t=5010t=50t=5 Perpendicular distance from point S to OR=5 units.

Leave a Comment